3 Hvað er sanngjarnt á fagráðsfundi?
3.1 Hvað gerðist á fyrstu tveimur fundunum
Dagskrárröðin er þekkt fyrir fyrstu tvo fundina (M1 og M2). Mynd 3.1 sýnir fyrir hvern fagráðsmann hvenær umsóknir hans voru teknar fyrir og hversu lengi hann þurfti að sitja.
Til að mæla biðina notum við biðpunkta: fjölda umsókna annarra sem fagráðsmaður situr undir áður en síðasta umsókn hans er tekin fyrir. Ef umsóknir fagráðsmanns eru nr. 3 og 9 á dagskrá situr hann undir 7 umsóknum annarra (nr. 1, 2 og 4–8) og fær 7 biðpunkta. Reitirnir hægra megin á Mynd 3.1 sýna biðpunktana uppsafnaða eftir hvern fund.
Biðin er ójöfn og hún safnast upp. Á fundunum tveimur sat sá fagráðsmaður sem lengst beið undir 18 umsóknum annarra áður en hans eigin voru afgreiddar, en sá sem styst beið sat undir 2. Þeir sem voru síðastir á M1 voru oft síðastir aftur á M2. Ekkert í núverandi ferli man hver beið síðast.
Rauðu reitirnir á Mynd 3.1 eru dagskrárliðir þar sem fagráðsmaður má ekki vera inni á fundinum: umsókn sem hann er vanhæfur í er tekin fyrir áður en síðasta umsókn hans sjálfs er afgreidd, svo hann þarf að bregða sér út og koma aftur. Þetta gerðist 3 sinnum á fundunum tveimur (1 á M1 og 2 á M2). Bleiku reitirnir sýna hitt tilvikið, þar sem enginn þarf að víkja: fagráðsmaðurinn er vanhæfur í umsókninni en er þegar farinn af fundinum, eða mætti alls ekki á hann. Þetta átti við 6 sinnum (3 á M2 og 3 á M3), og þannig ætti það helst alltaf að vera.
3.2 Sanngirni sem úthlutunarvandi
Áður en nokkuð er bestað þarf að svara því hvað á að besta og hvers vegna. Sú spurning er ekki ný. Hún er viðfangsefni fræða um sanngjarna úthlutun (e. equity), og APAP-verkefnið hvílir á sama grunni (Kafli 1).
Young (1994) skilgreinir úthlutunarvanda sem aðstæður þar sem hópur heldur sameiginlega á gæðum, byrðum eða kostnaði sem skipta þarf á milli einstaklinganna. Fagráðsfundur er slíkur vandi. Byrðin er fundartíminn: einhver á síðustu umsóknina á dagskrá og situr til loka, og það þarf að ákveða hver það er.
Byrðin er ódeilanleg. Dagskrárlið verður ekki skipt: nákvæmlega ein umsókn er fyrst og nákvæmlega ein síðust. Young lýsir tveimur algengum leiðum til að skipta ódeilanlegum gæðum með sanngjörnum hætti. Önnur er að skiptast á (e. rotation), þannig að sanngirnin náist yfir röð úthlutana en ekki í hverri fyrir sig. Hin er stigakerfi sem raðar fólki eftir uppsöfnuðu tilkalli, líkt og stigin sem réðu því hverjir voru fyrst leystir úr bandaríska hernum eftir 1945 og stigin sem notuð eru við úthlutun nýrna. Hér er hvoru tveggja beitt: biðpunktarnir eru stigin, og röðin á dagskrá skiptist á milli funda þannig að stigin jafnist yfir lotuna.
Byrðin er röð. Á fundi er ekki verið að úthluta einum gæðum heldur heilli röð: hver fagráðsmaður sem mætir fær sinn stað í henni. Biðpunktarnir breyta röðinni í mælikvarða sem hægt er að leggja saman og jafna yfir tíma.
Einn fundur getur ekki verið sanngjarn. Algengt viðmið er að enginn öfundi annan af hlut hans (e. envy-freeness). Það gagnast ekki á einum fundi: allir sem eru seint á dagskrá vildu frekar vera snemma, og aðeins einn getur verið fyrstur. Rétta spurningin er hvort ávinningur og byrði jafnist yfir endurteknar úthlutanir (Ajtai o.fl. 1998; Gross o.fl. 2019; Hermelin o.fl. 2025). Lærdómurinn úr APAP er að það gerist ekki af sjálfu sér: sanngjarnar vikur lögðust ekki saman í sanngirni til lengri tíma, því fyrri byrði hafði engin áhrif á næstu úthlutun. Þess vegna er byrðin hér gerð upp yfir alla lotuna og fundir sem eru búnir taldir með (Kafli 3.9).
Jafnt, í hlutfalli eða eftir forgangi? Young greinir á milli þriggja meginreglna: jafnræðis (allir fá jafnt), hlutfalls (hver fær í hlutfalli við það sem greinir hann frá öðrum) og forgangs (sá sem á ríkast tilkall gengur fyrir). Hlutfallsreglan er kennd við Aristóteles: fara skal eins með þá sem eru jafnir, og misjafnt með þá sem eru ójafnir, í hlutfalli við þann mun sem máli skiptir. Vandinn er að ákveða hvaða munur skiptir máli. Í APAP var það fjöldi vinnudaga, svo stig voru borin saman á hvern vinnudag. Í fagráðinu fylgir greiðslan þegar hlutfallsreglunni: greitt er fyrir hverja umsókn og hvert hlutverk. Bindingin og biðin eru hins vegar ólaunaðar, og þá er ekki augljóst að sá sem hefur fleiri umsóknir eigi að bera meira af þeim. Þar stendur valið á milli hlutfalls og jafnræðis, sjá Kafli 3.8.
Óhlutdrægni. Þeir sem eru eins að því leyti sem máli skiptir eiga að fá sömu meðferð. Tvennt í núverandi verklagi stenst það illa. Röð lesara fylgir stafrófinu (Kafli 2), svo upphafsstafir ráða því hver talar næstur. Og dagskránni er breytt fyrir þá sem senda póst og biðja um það, svo hluturinn ræðst af því hver biður. Regla sem er þekkt fyrir fram og reiknuð eins fyrir alla fjarlægir hvort tveggja. Skyld krafa er að reglan sé óbjöguð: yfir margar úthlutanir á frávik hvers og eins frá sínum hlut að jafnast út en ekki safnast upp. Það er það sem mælikvarðarnir hér að neðan fylgjast með yfir lotuna.
Sá verst setti. Líkanið lágmarkar byrði þess fagráðsmanns sem verst er settur. Það er reglan sem kennd er við Rawls (Rawls 1971): fyrst er hugað að þeim sem ber mest, og það er ekki talið til ókosta að einhver annar sleppi vel. Sanngirni hefur sitt verð (Bertsimas o.fl. 2011): sanngjarnasta dagskráin er ekki endilega sú sem gefur minnsta heildarbið. Líkanið hefur því líka litla vigt á meðalbyrði, svo enginn bíði að óþörfu.
Bætur. Þegar ekki er hægt að jafna byrðina sjálfa má bæta hana upp með öðru. Dagskrá þar sem allir bíða jafnlengi er ekki alltaf til, og erfitt er að finna hana. Þeir sem bíða óþarflega mikið gætu þá fengið fleiri ritstjórahlutverk, sem eru betur greidd, og þannig umbun fyrir viðveru sem annars er ólaunuð (Kafli 6, Kafli 8).
Tafla 3.1 svarar fyrir fagráðið þeim spurningum sem Young (1994) setur fram um hverja úthlutunarreglu.
| Spurning | Fagráðið |
|---|---|
| Hvaða form tekur úthlutunin? | Dagskrárröð á hverjum fundi; hver dagskrárliður er ódeilanlegur |
| Hverjir eiga hlut að máli? | Fagráðsmenn sem eiga umsókn á fundinum |
| Hvað er talið? | Binding (fundir sem mætt er á) og bið (biðpunktar) |
| Hvaða meginregla? | Hlutfall (byrði á hverja umsókn) eða jafnræði (ólaunuð byrði óskipt), sjá Kafli 3.8 |
| Hvað er þegar fast? | Fundir sem eru búnir, auglýstur næsti fundur, vanhæfi og fundir sem fagráðsmaður kemst ekki á |
| Hvernig eru ólík sjónarmið sætt? | Vegið markfall: sá verst setti fyrst, síðan meðalbyrði, vanhæfi og frestanir (Kafli 4) |
| Hvaða hvata skapar reglan? | Minni ástæða er til að biðja um tilfærslur þegar röðin fylgir þekktri reglu. Ef fagráðsmenn gefa sjálfir upp \(\alpha_r\) þarf að gæta þess að það borgi sig ekki að ýkja |
3.3 Bið ein og sér er ekki réttur mælikvarði
Freistandi er að mæla sanngirni eingöngu með bið innan fundar. Þá vantar hálfa byrðina. Fagráðsmaður sem á enga umsókn á fundi þarf alls ekki að mæta og getur ráðstafað kvöldinu að vild. Fagráðsmaður sem á umsókn á hverjum fundi er bundinn í hverri viku, jafnvel þótt hann sitji aðeins stutta stund.
Byrði fagráðsmanns yfir lotuna hefur því tvo þætti:
- Binding: hver fundur sem hann þarf að mæta á. Fundurinn bindur kvöldið, hvað sem gerist á honum.
- Bið: hversu lengi hann þarf að sitja á hverjum fundi, þar til síðasta umsókn hans hefur verið tekin fyrir.
Sanngjörn dagskrá jafnar summu þáttanna tveggja. Af því leiðir að fagráðsmenn sem þurfa að mæta oftar ættu að fá að fara fyrr af þeim fundum, þar sem þeir eru bundnir meira en aðrir. Þeir sem mæta sjaldan geta með sanngirni verið beðnir um að sitja lengur þegar þeir mæta.
3.4 Eigið mat fagráðsmanna
Hversu mikið einn fundur vegur á móti lengri setu er persónubundið. Sumir vilja frekar mæta sjaldnar og sitja lengi; aðrir vilja mæta oft og fara snemma. Líkanið leyfir þetta sem færibreytu fyrir hvern fagráðsmann: kostnaðinn við að mæta á einn fund, táknaður \(\alpha_r\) og mældur í dagskrárliðum (tíma einnar umsóknar).
- Hátt \(\alpha_r\) þýðir að það er dýrt fyrir viðkomandi að mæta: líkanið safnar umsóknum hans á færri fundi, jafnvel þótt hann þurfi þá að sitja lengur.
- Lágt \(\alpha_r\) þýðir að það er ódýrt að mæta: líkanið dreifir umsóknum hans og hann fer snemma.
Líkanið les \(\alpha_r\) fyrir hvern og einn; þeir sem hafa ekki eigið gildi fá sjálfgefið gildi. Í bili fá allir fagráðsmenn sama \(\alpha\), 2 dagskrárliði. Eðlilegt næsta skref er að spyrja fagráðsmenn um mat þeirra. Í núverandi útgáfu líkansins hefur \(\alpha_r\) minni áhrif en þetta gefur til kynna, því fjöldi funda er ákveðinn í fyrsta þrepi, áður en \(\alpha_r\) kemur við sögu (Kafli 4).
Við skipulag þeirra funda sem eftir eru í yfirstandandi lotu, með raunverulegum fjarvistum, tímagluggum innan funda (t.d. að fara fyrr), prófuðum við einnig að hækka \(\alpha_r\) eftir fjölda umsókna: þeir sem hafa flestar umsóknir fá hærra gildi, þannig að fundum þeirra fækkar. Samanborið við sama \(\alpha\) fyrir alla fór heildarbið úr 670 í 716 punkta, mesta bið einhvers úr 55 í 48 og mesta byrði úr 71 í 62, en Gini-stuðullinn var óbreyttur (0,147). Mesta byrðin er ekki beinn samanburður, því \(\alpha_r\) er hærra hjá þeim sem bera hana. Hærra \(\alpha_r\) hjá þeim sem hafa flestar umsóknir léttir því á þeim en kostar nokkra viðbótarbið hjá öðrum. Í sviðsmyndum 1–3 í Kafli 5 er \(\alpha_r\) stillt á þennan hátt.
3.5 Fundir sem fagráðsmaður kemst ekki á
Sumir fagráðsmenn vita fyrir fram að þeir komast ekki á tiltekna fundi vegna annarra skuldbindinga. Líkanið getur tekið tillit til þess: umsóknir viðkomandi eru þá ekki settar á þá fundi, og líkanið reynir áfram að halda fjölda funda sem hann þarf að mæta á, og bið hans á þeim, í lágmarki. Ef umsókn er fest á fund sem einhver fagráðsmanna hennar kemst ekki á, stoppar líkanið með villu sem nefnir umsóknina og fundinn, í stað þess að skila ógerlegu líkani; sama gildir ef hún er fest á fund áður en hún má koma fyrir.
3.6 Vanhæfi
Enginn fagráðsmaður les umsókn sem hann er vanhæfur til að fjalla um. Best væri að hann væri alfarið ekki á fundinum þegar sú umsókn er tekin fyrir, eða væri þegar farinn. Líkanið reynir að tryggja það: vanhæfur fagráðsmaður á annaðhvort ekki umsókn á þeim fundi eða allar umsóknir hans eru teknar fyrir á undan umsókninni sem hann er vanhæfur í.
Þetta er ekki alltaf hægt. Ef tveir fagráðsmenn eru vanhæfir hvor í umsókn hins, og báðar umsóknirnar eru á sama fundi, verður annar þeirra að vera viðstaddur. Þetta er því mjúk skorða: hvert frávik er leyft en kostar mikið í markfallinu, og líkanið gefur upp hversu mörg frávik eru eftir.
3.7 Mælikvarðar
Til að bera saman dagskrár eru nokkrir mælikvarðar reiknaðir fyrir hvern fagráðsmann:
- Vanhæfir viðstaddir: fjöldi skipta sem vanhæfur fagráðsmaður þyrfti að bregða sér af fundi meðan umsókn er tekin fyrir. Þetta viljum við lágmarka, helst í 0. Best er að viðkomandi mæti alls ekki á þann fund; annars á hann að vera snemma á dagskrá og farinn þegar umsóknin kemur.
- Biðpunktar (e. peel-off points): hversu margar umsóknir annarra fagráðsmaður þarf að hlusta á áður en síðasta umsókn hans er tekin fyrir. Biðpunktarnir safnast upp yfir lotuna.
- Biðpunktar á fund og á umsókn: biðpunktar deilt með fjölda funda sem mætt er á, og með fjölda eigin umsókna, svo bera megi saman fagráðsmenn með ólíkt álag.
- Fundir sem mætt er á og byrði, \(\alpha_r\) á hvern fund auk biðpunkta (Jafna 4.1). Líkanið heldur mestu byrðinni niðri.
- Fylgni funda og biðar (Spearman 1904) yfir alla fagráðsmenn. Jákvæð fylgni þýðir að þeir sem mæta oftast bíða líka mest, sem er einmitt það sem sanngjörn dagskrá á að forðast.
- Öfug pör: sá sem mætir á fleiri fundi ætti að fá að fara fyrr af þeim og bíða því minna samtals. Berum alla fagráðsmenn saman tvo og tvo. Ef A mætir á fleiri fundi en B og bíður samt lengur samtals, þá er A verr settur á báða vegu og parið er öfugt. Talið er hve mörg slík pör eru; í sanngjarnri dagskrá ættu þau að vera fá.
- Gini-stuðull byrðar (Gini 1912): einn tölustafur á bilinu 0 til 1 um hversu ójafnt byrðin dreifist; 0 þýðir að allir bera jafnt.
- Raðaður byrðarvigur: byrði allra fagráðsmanna, raðað frá þeim sem ber mest til þess sem ber minnst. Tvö plön eru borin saman sæti fyrir sæti. Fyrst er litið á þann sem ber mest í hvoru plani: það plan þar sem hann ber minna er sanngjarnara. Ef þeir bera jafnt er litið á þann sem ber næstmest, og svo koll af kolli. Þetta kallast leximin-röð (stytting á lexicographic maximin, eins og orðaröð í orðabók). Dæmi: plan með byrðina (10, 8, 3) er sanngjarnara en (10, 9, 1), því þeir sem bera mest bera jafnt (10) en sá sem ber næstmest ber minna (8 á móti 9), þótt sá sem ber minnst beri meira í fyrra planinu.
Allir mælikvarðarnir eru reiknaðir úr dagskránni sjálfri.
3.8 Sanngjarnt miðað við hvað?
Fagráðsmenn hafa ekki allir jafnmargar umsóknir. Spurningin er hvort byrðin eigi að vera jöfn í heild eða jöfn á hverja umsókn (eða á hvern fund).
Ef byrði er borin saman á hverja umsókn, þ.e. byrði fagráðsmanns deilt með fjölda umsókna hans, lítur það sanngjarnt út en felur gallann sem greinargerðin byrjaði á. Sá sem hefur margar umsóknir þarf að mæta á marga fundi, og þegar biðinni er deilt með mörgum umsóknum virðist hún lítil, jafnvel þótt hann sitji lengi á hverjum fundi. Þá bíða þeir mest sem mæta oftast.
Líkanið ber nú saman heildarbyrði: \(\alpha_r\) fyrir hvern fund sem mætt er á, auk biðpunkta, óháð fjölda umsókna (Jafna 4.1). Eigin umsóknir teljast ekki með, því þær eru launuð vinna; það sem er ólaunað er bindingin og biðin. Afleiðingin er sú sem Kafli 3 lagði upp með: sá sem mætir á einum fundi fleiri en annar má bíða \(\alpha_r\) dagskrárliðum skemur yfir lotuna.
Þetta er gildismat, ekki stærðfræðileg niðurstaða:
- Með heildarbyrði hafa fagráðsmaður með 23 umsóknir og fagráðsmaður með 10 sama þak. Sá fyrri mætir oftar og má því bíða minna á hverjum fundi.
- Með byrði á hvern fund sem mætt er á, eins og í APAP þar sem stig eru reiknuð á hvern vinnudag (Kafli 1), væri hvert fundarkvöld metið eins hjá öllum, en sá sem mætir oft fengi ekki að fara fyrr fyrir vikið.
- Með byrði á umsókn fær sá sem les mikið afslátt af biðinni, sem var gallinn hér að ofan.
Þessi greinargerð velur heildarbyrði. Byrði á fund er eðlilegur samanburður sem vert er að skoða (Kafli 8).
3.9 Tímabilið
Einn fundur getur ekki verið sanngjarn við alla, en röð funda getur það. Byrðin er því gerð upp yfir alla lotuna, svo að erfiður fundur er bættur upp síðar:
- Fundir sem þegar hafa verið haldnir eru fastir, eins og þeir voru.
- Byrði þeirra telst með í lotunni, svo fagráðsmaður sem beið lengi á M1 og M2 fær að fara fyrr á þeim fundum sem eftir eru.
- Umsóknir sem eru á dagskrá næsta fundar samkvæmt tillögu starfsmanna haldast þar, en innbyrðis röð þeirra er óákveðin og líkanið má velja hana.
- Aðrar umsóknir má færa á milli seinni funda ef það er sanngjarnara.
Fagráðið breytist frá ári til árs, svo eðlilegt tímabil er ein lota. Fyrir fagráðsmenn sem sitja áfram mætti flytja stöðu á milli lotna.
3.10 Sanngirni í úthlutun hlutverka
Fundaskipanin er seinni ákvörðunin af tveimur. Sú fyrri, hver er ritstjóri og hverjir lesarar á hverri umsókn, hefur sínar eigin sanngirnisspurningar (Kafli 2):
- svipað heildarálag og jafn fjöldi ritstjóra-, 1. lesara- og 2. lesarahlutverka, svo allir fái svipað rými í umræðunni;
- nýir fagráðsmenn með takmarkaðan fjölda umsókna og ritstjórahlutverka, og ritstjórahlutverk þeirra seinna í lotunni, eftir að þeir hafa fyrst verið lesarar.
Fyrir nýja fagráðsmenn er löng seta ekki endilega byrði. Það getur verið betra að leyfa þeim að sitja meðvitað lengri fundi, svo þeir fái að hlusta á umræður reyndari fagráðsmanna: rökin og aðferðafræðina við úrvinnslu umsókna. Í líkaninu má gera það með lægra \(\alpha_r\) eða minni vigt á bið hjá nýjum fagráðsmönnum.
Þessi greinargerð byrjar á fundaskipaninni og tekur núverandi úthlutun hlutverka sem gefna.